アールメカブ

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Rの備忘録

ポアソンの共役事前分布はガンマ分布である(Gelman et al.: Bayesian Data Analysis, p.52, 2nd Edition)．

• ポアソン分布

  #mimetex(p(y|\theta) = \frac{\theta^y \, e^{-\theta}}{y!})

• 尤度

  #mimetex(\bf{y} = y_i, \dots , y_n)

  #mimetex(p(\bf{y}|\theta) = l(\theta|\bf{y}) = \Pi \frac{1}{y_i!} \theta^{y_i} \, e^{-\theta})

  #mimetex( \propto \theta^{t(y)} \, e^{-n \theta}) 指数属で表現すると

  #mimetex( \propto e^{-n\theta}\, e^{t(y) log \theta} ) 文系学生相手にするので，指数法則を指摘する．

  #mimetex(\theta^y = e^{log(\theta^y)} = e^{y log \theta}) 指数属とは関数が次の形で表されること(Lee: Bayesian Statistics, pp.60)．

  #mimetex(p(\bf{x}| \theta) = g(\bf{x}) \, h(\theta) \, e^{t(\bf{x}) \, \phi(\theta)}) 上の式では&mimetex(\frac{1}{y!});が消えているので注意

• 自然共役事前分布

  #mimetex(p(\theta) \propto (e^{-\theta})^n e^{v log \theta} )

• 事後分布

  #mimetex(\theta|\bf{y} \sim Gamma(\alpha + n \bar{y}, \beta + n))

• 医学関係ではポアソン分布を次のように書いている．

  #mimetex(y_i \sim Poisson(x_i \theta)) &mimetex(y_i); と &mimetex(x_i); が観測数で，&mimetex(\theta); が未知のパラメータだが，&mimetex(x); を exposure，&mimetex(\theta); をrate と表現しているので，分野違いの人間は，何度みても慣れないというか，馴染めない．