アールメカブ

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  • 1 (2007-11-16 (金) 17:58:04)
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対数尤度比検定

対数尤度比は -2 * log &mathml(\lambda); で表されるわけだが，例えば二項分布の場合

&mathml(H(p_1, p_2; k_1, n_1, k_2, n_2 = p_1^(k_1) (1 - p_1)^(n1 - k1));
ある実験の結果として&mathml(k_1);,&mathml(k_2);,&mathml(k_3); の値がえられたとする．また実験の背後にあるモデルのパラメータを  &mathml(p_1);,&mathml(p_2);,&mathml(p_3); とする．これを次のように記す．

#mathml(H(p_1 p_2 p_3 ; k_1 k_2 k_3));

例えばベルヌーイトライアルであれば，試行回数と成功数が観察した結果であり，成功率がパラメータであるから次のように表される．

#mathml(H(p;n k) = p^k (1 - p)^{n - k} {}_n C_k);

対数尤度比は -2 * log &mathml(\lambda); で表されるわけだが，
これはパラメータのすべての可能な値からなる部分集合についての仮説に基づく尤度の最大値 &mathml(max_{\omega in \Omega} H(\omega;k)); と，ある仮説に基づくパラメータの部分集合に基づく尤度の最大値 &mathml(max_{\omega in \Omega_0} H(\omega;k)); との比で表される．

//#mathml(\frac{1}{2});
#mathml(max_{\omega in \Omega_0} H(\omega;k) / max_{\omega in \Omega} H(\omega;k))

&mathml(\Omega_0);はある仮説に基づくパラメータの部分集合であり，&mathml(\omega);はそのパラメータ空間のある点である．

この比の対数を -2 倍した値は，漸近的にカイ二乗分布に従う．ただし自由度は &mathml(\Omega); と &mathml(\Omega_0); の差に等しい．


例えば二項分布の場合

//&mathml(H (p_1,p_2,k_1,n_1,k_2,n_2));
&mathml(H (p_1 p_2; k_1 n_1 k_2 n_2)); = 
&mathml(p_1^(k_1) (1 - p_1)^(n1 - k1) {}_n_1 C_k_1 p_2^(k2) (1 - p_2)^(n2 - k2) {}_n_2 C_k_2);

二つの確率分布が等しいパラメータを持つという仮説は，集合 &mathml({ (p_1); , &mathml(p_2) ; p_1 = p_2} ); で表される．

すると，ここで二つのパラメータは等しいとする仮説を立てると，そのパラメーター部分集合と全パラメータ集合の尤度比は

#mathml(max_p L(p k_1 n_1) L(p k_2 n_2)  / max_{p_1 p_2} L(p_1 k_1 n_1) L(p_2 k_2 n_2) );
となる．ここで&mathml( L(p k n) =  p^k (1 - p)^{n - k} {}_n C_k);である．
//H (p_1 p_2; k_1 n_1 k_2 n_2)); = 
//&mathml(p_1^(k_1) (1 - p_1)^(n1 - k1)