Bayes_Poisson のバックアップ(No.2) - アールメカブ

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Bayes_Poisson のバックアップ(No.2)


Rの備忘録

_ ポアソンの共役事前分布はガンマ分布である

(Gelman et al.: Bayesian Data Analysis, p.52, 2nd Edition).

  • ポアソン分布

    #mimetex(p(y|\theta) = \frac{\theta^y \, e^{-\theta}}{y!})

  • 尤度

    #mimetex(\bf{y} = y_i, \dots , y_n)

    #mimetex(p(\bf{y}|\theta) = l(\theta|\bf{y}) = \Pi \frac{1}{y_i!} \theta^{y_i} \, e^{-\theta})

    #mimetex( \propto \theta^{t(y)} \, e^{-n \theta}) 指数属で表現すると

    #mimetex( \propto e^{-n\theta}\, e^{t(y) log \theta} ) 文系学生相手にするので,指数法則を指摘する.

    #mimetex(\theta^y = e^{log(\theta^y)} = e^{y log \theta}) 指数属とは関数が次の形で表されること(Lee: Bayesian Statistics, pp.60).

    #mimetex(p(\bf{x}| \theta) = g(\bf{x}) \, h(\theta) \, e^{t(\bf{x}) \, \phi(\theta)}) 上の式では&mimetex(\frac{1}{y!});が消えているので注意

  • 自然共役事前分布

    #mimetex(p(\theta) \propto (e^{-\theta})^n e^{v log \theta} )

  • 事後分布

    #mimetex(\theta|\bf{y} \sim Gamma(\alpha + n \bar{y}, \beta + n))

  • 医学関係ではポアソン分布を次のように書いている.

    #mimetex(y_i \sim Poisson(x_i \theta)) &mimetex(y_i); と &mimetex(x_i); が観測数で,&mimetex(\theta); が未知のパラメータだが,&mimetex(x); を exposure,&mimetex(\theta); をrate と表現しているので,分野違いの人間は,何度みても慣れないというか,馴染めない.

_ R での実行例

  • Albert Bayesian: Computation with R より
    • 米国のある病院での心臓手術が失敗するケース数&mimetex(y); を考える.ここで失敗とは手術後30以内に死亡することである.これはポアソン分布に従うとする.手術(exposure)の総数を&mimetex(e);,exposureあたりの死亡率を&mimtex(\lambda); とすると,
    • 米国のある病院での心臓手術が失敗するケース数&mimetex(y); を考える.ここで失敗とは手術後30以内に死亡することである.これはポアソン分布に従うとする.手術(exposure)の総数を&mimetex(e);,exposureあたりの死亡率を&mimtex(\lambda); とすると,

      #mimetex(y \sim Poisson(e \lambda))

    • &mimetex(\lambda);の最尤推定量は &mimetex( \bar{\lambda} = y/e);である.
    • 上で述べたように事前共役分布はガンマ分布だが,二つのパラメータを設定する必要がある.ここでは,いま対象としている病院と同じ手術レベルの他の病院のデータを参考にして,16と15174とする.すなわち

      #mimetex(\theta^16 \, e^{-15174\, \theta})

こういうページも参考に.