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アールメカブ
ゼロ打ち切りの負の二項分布
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開始行:
* ゼロ打ち切りの負の二項分布 [#v32020b3]
負の二項分布は
#mathml(p_0 (x) = { }_{k+x-1}C_{x} p^k (1-p)^x = );
#mathml(\frac{\Gamma(k+x)}{\Gamma(k)x!} (\frac{k}{k+\mu...
ただし
+ &mathml(x =); 0,1,2,...
+ &mathml(\mu = \frac{k(1 - p)}{p});
+ 0 < &mathml(p); < 1 , 0 < &mathml(k); < ∞
//< &mathml(\infty);
// #mathml(\binom{k+x-1}{x})
このゼロ打ち切り分布は
#mathml(p(x) = \frac{p_0(x)}{1 - p_0(0)} = \frac{p^k}{1 -...
ここで &mathml((1 - p) = q); とすれば Niehaus p.235 の式
#mathml(P_x = \frac{p^k}{1 - p^k} { }_{k+x-1}C_{x}(q)^...
また &mathml(k); -> ∞, &mathml(q); -> 0, &mathml(q k); -...
- さてこの分布は， [[蓑谷 千凰彦 統計学のはなし:http://ww...
この式の導出は，まず二項分布を考える．すなわち n 回試行し...
#mathml({}_nC_{x} p^x q^{n - x})
ここで k 回の成功が生じるまでに必要なベルヌーイ試行の回数...
k 回の成功が生じるまでの試行回数が z 回と言う場合，z - 1 ...
#mathml({}_{z-1} C_{k-1} p^{k-1} q^{z-k})
で求まり，k 回目の成功は，これに p をかければ良い．
#mathml({}_{z-1} C_{k-1} p^{k-1} q^{z-k} p = {}_{z-1} C...
これが負の二項分布であるが，この式で k = 1 の時は，&size(...
さて，今 &mathml(X = Z - k); と表すと x は 0,1,2...をとる...
#mathml( {}_{x + k -1} C_{k - 1} p^{k} q^{x} )
となる．ここで
+ &mathml(\mu = \frac{k q}{p});
+ &mathml(\sigma^2 = \frac{k q}{p^2});
先の式は次を利用すると，結局，&mathml({}_{k+x-1}C_{x} p^...
+ &mathml( {}_{x+k-1}C_{k-1} = \frac{(x+k-1)!}{(k-1)!x!});
+ &mathml( {}_{x+k-1}C_{x} = \frac{(x+k-1)!}{(k-1)!x!});
なお&size(16){&color(red){positive Poisson 正のポアソン分...
なお，これらの分布の関係については，
G.Wimmer, R.Koehrer,R.Grotjahn,G.Altmann: Towards a theor...
終了行:
* ゼロ打ち切りの負の二項分布 [#v32020b3]
負の二項分布は
#mathml(p_0 (x) = { }_{k+x-1}C_{x} p^k (1-p)^x = );
#mathml(\frac{\Gamma(k+x)}{\Gamma(k)x!} (\frac{k}{k+\mu...
ただし
+ &mathml(x =); 0,1,2,...
+ &mathml(\mu = \frac{k(1 - p)}{p});
+ 0 < &mathml(p); < 1 , 0 < &mathml(k); < ∞
//< &mathml(\infty);
// #mathml(\binom{k+x-1}{x})
このゼロ打ち切り分布は
#mathml(p(x) = \frac{p_0(x)}{1 - p_0(0)} = \frac{p^k}{1 -...
ここで &mathml((1 - p) = q); とすれば Niehaus p.235 の式
#mathml(P_x = \frac{p^k}{1 - p^k} { }_{k+x-1}C_{x}(q)^...
また &mathml(k); -> ∞, &mathml(q); -> 0, &mathml(q k); -...
- さてこの分布は， [[蓑谷 千凰彦 統計学のはなし:http://ww...
この式の導出は，まず二項分布を考える．すなわち n 回試行し...
#mathml({}_nC_{x} p^x q^{n - x})
ここで k 回の成功が生じるまでに必要なベルヌーイ試行の回数...
k 回の成功が生じるまでの試行回数が z 回と言う場合，z - 1 ...
#mathml({}_{z-1} C_{k-1} p^{k-1} q^{z-k})
で求まり，k 回目の成功は，これに p をかければ良い．
#mathml({}_{z-1} C_{k-1} p^{k-1} q^{z-k} p = {}_{z-1} C...
これが負の二項分布であるが，この式で k = 1 の時は，&size(...
さて，今 &mathml(X = Z - k); と表すと x は 0,1,2...をとる...
#mathml( {}_{x + k -1} C_{k - 1} p^{k} q^{x} )
となる．ここで
+ &mathml(\mu = \frac{k q}{p});
+ &mathml(\sigma^2 = \frac{k q}{p^2});
先の式は次を利用すると，結局，&mathml({}_{k+x-1}C_{x} p^...
+ &mathml( {}_{x+k-1}C_{k-1} = \frac{(x+k-1)!}{(k-1)!x!});
+ &mathml( {}_{x+k-1}C_{x} = \frac{(x+k-1)!}{(k-1)!x!});
なお&size(16){&color(red){positive Poisson 正のポアソン分...
なお，これらの分布の関係については，
G.Wimmer, R.Koehrer,R.Grotjahn,G.Altmann: Towards a theor...
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